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这里写文章的前言：
一个简单的开头,简述这篇文章讨论的问题、目标、人物、背景是什么？并简述你给出的答案。
可以说说你的故事：阻碍、努力、结果成果，意外与转折。
📝 主旨内容
观点1
引用的话语
观点2
引用的话语
🤗 总结归纳
总结文章的内容
📎 参考文章
- 一些引用
- 引用文章
1、AR模型
自回归模型(autoregressive model)的定义如下：
时间序列{rt}{rt}被称为一个pp阶的自回归模型，记为AR(p)AR(p)模型：
rt=α1rt−1+α2rt−2+...+αprt−p+wtrt=α1rt−1+α2rt−2+...+αprt−p+wt
=∑i=1Pαirt−i+wt=∑i=1Pαirt−i+wt
其中，wtwt是一个白噪声中的随机变量。
上述模型是多元线性回归模型，只是变量和自变量都是时间序列中不同时间点的随机变量。它研究的是时间序列自身的多远线性回归关系，所以称为自回归模型。
用自回归模型建模时需要确定阶数pp。
自回归模型不都是平稳的。当p=1,α1=1p=1,α1=1，时，这个一阶自回归模型AR(1)AR(1)实际上就是随机游走。上篇笔记给出了随机游走不稳定的说明。
如果一个自回归模型AR(p)AR(p)是平稳的，那么它就有下面的性质：
- 均值为0（或者是一个常数c）；
- 间隔为的自协方差可用如下递归式表示（利用了协方差的可加性）：
k
k
γk=∑i=1pαiγk−i,k≥0γk=∑i=1pαiγk−i,k≥0
- 间隔为的自相关系数可用如下递归式表示：
k
k
ρk=∑i=1pαiρk−i,k≥0ρk=∑i=1pαiρk−i,k≥0
2、MA模型
用自回归模型建模股价收益率，是建立在tt时刻收益率是t−p,...,t−1t−p,...,t−1时刻收益率的线性组合的假设上。
与AR模型不同，移动平均模型（moving average）对收益率建模假设tt时刻收益率是白噪声在不同时刻随机变量的线性组合。
如果时间序列{rt}{rt}是一个qq阶的移动平均模型（记为MA(q)MA(q)），那么
MA(q)长成下面这样：rt=wt+β1w1+...+βqwqrt=wt+β1w1+...+βqwq
其中，序列{wt}{wt}是一个白噪声。
MAMA模型一定是平稳的。它的序列均值为0（假设序列{wt}{wt}均值为0，也可以是常数）；它的间隔k的自相关系数如下：
- 若，；
k=1
k=1
ρk=1
ρk=1
- 若，；
k=1,...,q
k=1,...,q
ρk=∑q−ki=0βiβi+k/∑qi=0β2i
ρk=∑i=0q−kβiβi+k/∑i=0qβi2
- 若，。
k>q
k>q
ρk=0
ρk=0
你也许会觉得MAMA模型和随机游走很像，都是白噪声的累加。为什么随机游走是不平稳，而MAMA模型是平稳的。
这里要注意，MAMA模型的白噪声线性组合中的变量个数是由阶数qq固定的，而随机游走的的白噪声变量个数是与tt相关的。
上面也已经说明了，随机游走其实是ARAR模型的一个特例。
3、ARMA模型
如果用自回归模型建模股价收益率，实际上是在捕捉市场的动量或者反转效应。
如果用移动平均模型建模股价收益率，又是在捕捉由于外界扰动因子对整个平衡的打破（体现在加权系数β1,...,βqβ1,...,βq上）。
如果想同时获得上述两类信息的建模，那么很简单地就是将AR和MA通过做简单的线性方式结合起来，也就是自回归移动平均模型（autoregressive moving average model）。
如果时间序列{rt}{rt}是一个(p,q)(p,q)阶的自回归移动平均模型（记为ARMA(p,q)ARMA(p,q)），那么，ARMA(p,q)ARMA(p,q)长成下面这样：
rt=α1rt−1+α2rt−2+...+αprt−p+β1w1+...+βqwq+wtrt=α1rt−1+α2rt−2+...+αprt−p+β1w1+...+βqwq+wt
用ARMA模型建模需要确定阶数、还有很多参数、需要检验残差项的自相关性（也就是那个wtwt）等等。这些在后面的笔记详细阐述。
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